تمرین اتحادهای جبری ریاضی دهم - مسئله ۴
۴. حاصل عبارت‌های زیر را به دست آورید.
الف) $\frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 1} - \frac{5x}{x - 1}$
ب) $\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 1} - \frac{1}{x - 1}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 67 ریاضی دهم - مسئله ۴
این تمرین‌ها شامل جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج‌های رادیکالی و غیر رادیکالی هستند که نیاز به **مخرج مشترک** و **تجزیه** دارند.
### **الف) $\mathbf{\frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 1} - \frac{5x}{x - 1}}$**
**گام ۱: تجزیه و مخرج مشترک**
* **تجزیه:** $\mathbf{x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$ (اتحاد مزدوج)
* **مخرج مشترک:** $\mathbf{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \mathbf{x - 1}$
**گام ۲: هم‌مخرج کردن و جمع صورت‌ها**
$$\text{حاصل} = \frac{1(\sqrt{x} + 1)}{x - 1} + \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} - \frac{5x}{x - 1}$$
$$\text{حاصل} = \frac{(\sqrt{x} + 1) + (2\sqrt{x} - 2) - 5x}{x - 1}$$
**گام ۳: ساده‌سازی صورت**
$$\text{صورت} = (\sqrt{x} + 2\sqrt{x}) + (1 - 2) - 5x = 3\sqrt{x} - 1 - 5x$$
$$\mathbf{\frac{3\sqrt{x} - 5x - 1}{x - 1}}$$
---
### **ب) $\mathbf{\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 1} - \frac{1}{x - 1}}$**
**گام ۱: تجزیه و مخرج مشترک**
* **تجزیه مخرج دوم:** $\mathbf{x - 1 = (\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)}$ (اتحاد تفاضل مکعب‌ها)
* **مخرج مشترک:** $\mathbf{x - 1}$
**گام ۲: هم‌مخرج کردن**
$$\text{حاصل} = \frac{1(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1)}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}$$
$$\text{حاصل} = \frac{(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1) - 1}{x - 1}$$
**گام ۳: ساده‌سازی صورت**
$$\text{صورت} = \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}$$
$$\mathbf{\frac{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}}{x - 1}}$$
تمرین اتحادهای جبری ریاضی دهم - مسئله ۵
۵. اگر $\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 4} = 3$، حاصل عبارت $\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 4}$ را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 67 ریاضی دهم - مسئله ۵
این یک مسئله‌ی **معادلات رادیکالی** است که از **اتحاد مزدوج** برای حل استفاده می‌کند.
### **گام ۱: مدل‌سازی و استفاده از مزدوج**
فرض می‌کنیم عبارت معلوم $\mathbf{A}$ و عبارت مجهول $\mathbf{B}$ باشد:
* $\mathbf{A = \sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 4} = 3}$
* $\mathbf{B = \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 4}}$
حاصل‌ضرب $\mathbf{A \times B}$ یک اتحاد مزدوج است:
$$A \times B = (\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 4})(\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 4})$$
$$A \times B = (\sqrt{x + 2})^2 - (\sqrt{x - 4})^2$$
### **گام ۲: ساده‌سازی حاصل‌ضرب**
$$A \times B = (x + 2) - (x - 4)$$
$$A \times B = x + 2 - x + 4$$
$$\mathbf{A \times B = 6}$$
### **گام ۳: پیدا کردن $\mathbf{B}$**
چون مقدار $A = 3$ معلوم است، آن را در رابطه‌ی $A \times B = 6$ جایگزین می‌کنیم:
$$3 \times B = 6$$
$$B = \frac{6}{3} = \mathbf{2}$$
$$\text{عبارت } \mathbf{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 4}} \text{ برابر } \mathbf{2} \text{ است.}$$
**نکته اضافه (اختیاری):** با حل دستگاه $\begin{cases} A = 3 \\ B = 2 \end{cases}$ می‌توان مقدار $x$ را پیدا کرد: $$\text{جمع دو معادله:} \quad 2\sqrt{x + 2} = 5 \Rightarrow \sqrt{x + 2} = 2.5 \Rightarrow x + 2 = 6.25 \Rightarrow x = 4.25$$
